形数结合的归一问题
2010年10月19日 08:09:49 来源:犍为县定文中心小学 访问量：314次
形数结合的归一问题
杭州现代小学数学教育研究中心 新思维实验小学 唐彩斌 评析： 张天孝
教学内容：现代小学《新数学读本》三上
教学目标：
① 经历从直观图示中抽象出数量关系的过程，从不同情境中概括出共同的模型，初步感知归一问题的解决方法；
② 沟通图形、表格、及具体数量之间的联系，通过形数结合的训练，提高学生比较、分析和综合的能力；
③ 组织富有现实性的数学活动，提高学生参与学习的积极性，借助归一的实际应用，内化归一思想，提高学生的综合素养。
一．创设轻松氛围，从动漫儿歌导入新课；
1．师：在上课之前，我送给大家一首动漫儿歌。儿歌的名字叫数青蛙。你们会吗？下面就让我们一起跟着电脑动漫念一念。（播放动漫儿歌，学生跟着节奏念。）
2．师：同学们念得真不错。因为数字比较简单，又是按照一定的顺序从一开始，所以刚才你们背得很熟练。现在加大点难度，不按顺序了，2只，5只，8只，12只，你们还能念吗？我们一起来试一试。
3．学生尝试念儿歌。（显然节奏变得慢了）
4．师：怎么一下子就变得这么不整齐了，有时还故意把某个字念得特别长，这是为什么？【学生会意地笑：我们在算】。
5．师：是啊，今天我们就要来学习有关怎么算的问题。学了以后，我们不仅能背儿歌，而且还能编儿歌。
【评析：轻松的儿歌，动漫的形式，吸引了学生学习新知的兴趣。同时，也为学习归一孕伏了基础，便于学生在学习过程中迁移已有的经验。】
二．借助直观图形，初步感知每份数、份数与总数之间的关系。
1．师：今天的学习从一个简单的图形开始。呈现一个长方形，表示120。现在平均分成4份，1份涂上黄色，黄色部分表示多少？
2．学生解答：120÷4＝30。
3．师：你是怎么想的？
4.生：用总数除以份数，可以求出一份是多少。
5．呈现另一个图形：一个三角形表示90，黄色部分有6个，黄色部分表示多少？
6．学生解答：90×6＝540。
7．师：你是怎么想的？
8．生：用每份数乘以份数，可以求出总数。
【评析：在直观图示的导引下，巩固学生根据总数和份数求每份数，以及根据每份数和份数求总数的基本技能。在两个不同的直观图示中，孕伏了解决归一问题的分解步骤，为学习归一做必要的知识储备。】
三．借助直观图形，初步感受归一的基本模式；
1．师：下面这个图形的黄色部分表示多少？
2．生：少条件的，应该告诉一份是多少？
3．师追问：非要告诉一份是多少吗？我们一起来看看到底告诉了什么已知条件？能不能求出黄色部分是多少？出示：红色部分表示180。
4．学生独立思考，尝试解答。有的先分步：180÷3＝60，60×5＝300，教师引导用综合算式解答：180÷3×5＝60×5＝300，特别强调：先算哪步，表示什么？
5．师补充：如果已知的是整个图形表示480呢？
6．生列式计算：480÷8×5＝60×5＝300。
7．师引导学生反思：刚才是怎样求出黄色部分的，我们一起来回顾一下，为了比较的方便，可以用表格把相应的数据整理在一起。
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红色
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黄色
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整个图
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总数
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180
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300
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480
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份数
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3
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5
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8
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8．学生观察表格，以及相应的算式，教师引导学生发现解答这些问题有什么共同之处？
9．学生：都是先求出一个小三角形是多少。
【评析：在直观图示的导引下，学生形成了一定的认知冲突，要求黄色部分是多少，但又不知道一份是多少？引导学生根据已知的总数和份数求出每份数，再根据每份数和份数，求出相应的总数。虽然先后两次呈现条件，一次已知红色部分，一次已知整个图形，但每一次都是为了先求出每个三角形是多少，突出归一的必要和重要。】
10．观察图表中信息，提出问题，并解答。
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总数
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63
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份数
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7
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学习方法提示：①提问；②解答；③填表；④交流；
11．学生独立思考，静心思考，再交流。
问题：蓝色部分表示多少？解法；63÷7×5；
问题：空白部分表示多少？解法：63÷7×12；
问题：涂色部分表示多少？解法：63÷7×12；
问题：整个图形表示多少？解法：63÷7×24；
12．师引导学生发现共同规律：在解决这些问题中，你们发现了什么规律？
13．生：都是先求出一个小正方形表示多少？
14．教师也来提一个问题：表示36的图形可以怎样画？
15．学生解答，先求出有几格？36÷（63÷7）＝36÷9＝4
（有4格组成，但图形的形状可以不同，有5种不同情况）
16．师：你也能提出这样的问题？
17．学生：表示45的图形怎么画？
18．学生解答：45÷（63÷7）＝45÷9＝5。应该画5格。
19．再比较：有没有共同之处？不同的是什么？
20．生交流：还是先求一个正方形是多少，只不过本来根据数量求总数，而后者是根据总数求份数。
【评析：在学生初步建立正归一的直观模型基础上，通过根据图表中信息的提问，引导提出反归一的问题，在正反归一问题的比较中，进一步突出归一的基本特征。
针对三年级的学生学习特征，学习时可结合学生的操作“画一画”表示36的图，既对归一问题解决方法的强化，同时也是加强空间观念，提高数学综合素养。】
四．通过实物图，感受归一思路的实际应用。
1．师：刚才我们从不同的图形中都发现同样的规律，都是要先求出一个三角形或者一个正方形是多少，如果这个图形是现实生活的一件实物，那又该怎么解答呢？现在我们一起到生活中看看，迎奥运，买福娃；
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？元
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200元
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2．学生解答：200÷4×6＝50×6＝300（元）；
3．师：你是怎么想的？生：先求一个福娃；
4．现在题目要变一变，表格中依次出现数据，要求学生马上算出相应的数，看谁的反映快？
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总数/元
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200
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100
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份数/个
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4
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6
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10
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80
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（尤其是总数为100元的时候，学生容易思维定势，100×50＝5000元。稍作思考，学生马上会纠正。）
5． 教师引导学生思考：如果最后的两个空格由你来填，你打算怎么填？为什么？
6．生1：先填下面，下面随便填一个，再用下面的数乘以50就是上面的数了。生2：上面的数虽然不能随便填，但只要是50的倍数就可以了，只要用上面的数除以50就是下面的数了。
7．教师引导强调：不管先填什么，都要先求出一个福娃多少元。
【评析：在直观图形的经验积累基础上，进一步用直观实物来呈现问题，为以后学习的文字问题作准备。学生理想的状态是在解决问题时能提取直观图示来帮助解决问题。同时这又是一个变式的对比练习，既是强化同类型（正归一）的问题解决方法，又穿插反归一的问题，着力提高学生思维的灵活性和敏捷性，因为学生容易受到思维的定势，增强练习的灵活性和趣味性。无论是正归一还是反归一最终是为了突出归一的本质特点。】
五．借助综合性的实际问题，沟通各种归一思路之间的联系；
1．师：刚才表格中对应的两个数量都不告诉，我们也知道怎么填了。但有时在生活中，对应的两个数量都告诉，那又该怎么办呢？现在我们一起来解决一个实际问题：饮料一杯能装下吗？
2．呈现问题：小瓶饮料90克，倒进空瓶占3格。大瓶饮料300克，倒进空瓶（8格）装得下吗？（每一格质量相等）
3．学生思考后，解答：
生1：90÷3×8＝240（克），240<300；装不下。
生2：300÷（90÷3）＝10（格），10>8；装不下。
生3：300÷90＝3（倍）……30（克）；3×3＝9（格），9>8；装不下。
4．教师引导发现解决方法的共同点：通过不同的方法，得到了相同的结果，虽然方法不同，但都是先求出每格装多少？
5．教师引导学生理解：最后一种虽然没有求出一格是多少，但他把三格当作一份来思考了。
【评析：在解决问题时，学生首先把现实问题转化成数学问题，这也是要着力培养的一种能力。同时，还是蕴含着比较，解决同一问题不同的方法却有一个共同的本质特征，有正反归一两种方法都可以解决问题。更可贵的是有学生能深化“一”的认识，不拘泥于一就是一格，这是对归一的内涵的拓展，也是对归一问题的透彻的解析。】
六．设计综合实践活动，应用归一思路解决实际问题。
1．教师组织学生再编儿歌。我们一起来把不完整的儿歌编完整。
4只小动物4张嘴，8只眼睛32条腿；7只小动物7张嘴，（ ）只眼睛（ ）条腿；（ ）只小动物（ ）张嘴，24只眼睛96条腿……
2．先让学生填空，再引导学生猜测，这是什么小动物吗？（注：8只脚的，出示图：蜘蛛）
3．教师鼓励：看来现在大家不只是会背儿歌，而且还会编儿歌了。
【评析：呼应课前念过的儿歌，同时在解答的过程中也包含着归一问题的多种类型，并且在解决问题时需要学生选择相应的条件，也为学生用多种策略来解决问题提供空间。】
4．组织课外实践活动：怎样能知道打开一个水龙头1个小时会流出多少水？
5．师：你们今天下午放学回家，千万不要一到家就打开水龙头1小时，再测量有多少水？（学生会意地大笑）要注意节约用水。有学生迫不及待：开1秒钟就够了。生补充：那么快，来得及吗？师：看来大家都要先设计好可行的方案，再去实践。
6．教师勉励：希望大家把今天所学数学知识用起来，相信你的实验会成功。
【评析：实践能力的培养，需要设计一个个切实可行的实践活动来付诸实施。只有这样才不会成为空谈。而像这样的实践活动，既是对本节课数学学习内容的针对性应用，同时又是一次可操作性很强的实践活动。既有新意，又很务实。】
最后的话：
形数结合，从图形直观中理解数学结构，掌握数量关系，是改进应用题教学的新思路，值得我们继续实践和探索。
鸣谢：参与集体听课指导的老师有斯苗儿，方张松，吴卫东，平国强，丁杭英，马东娟，汪培新，以及课题组张天孝，朱乐平，邵虹，姜荣富，陈敏，黄文娟，张圆，以及天长小学、饮马井小学的老师，特此感谢。
改进传统归一问题教学的新思路
观唐彩斌执教《数形结合的归一问题》有感
数学是什么？数学是数和形及其演绎的科学。数形结合是数学的一种重要思想，数与代数，空间和图形是小学数学教育中两块重要的内容，到了后续学习中又会产生一门新的学科，那就是《解析几何》，解析几何就是用方程的思想去描述空间与图形。也许，这是小学阶段重视数形结合思想渗透的重要原因吧。
看了这个课题，我们就会想这样一个问题，归一问题属于解决问题中的一种典型的模型。这样一种模型如何和图形结合，是一种挑战。听了唐老师的课以后，让我们很好地领略了唐老师的智慧和风采，他很好的演绎了自己的课题，使我们与会者深受启发。
一、 智慧地建立了图形推算和归一问题的结构性联系。
唐老师找到了直观图形推算和归一问题的联系，通过解决图形中已知总数和对应份数，求几份对应的总数这样的问题，建立了正归一问题的直观模型。让学生感悟图形推算过程中要先求出单一量的中间问题。然后用具体的现实生活中的实物代替几何图形，推广到了归一问题，实现了图形模型和生活问题的联结，产生了类推，实现了数型结合。同时为学生表格的、文字的生活问题奠定了基础。这样我们也不难理解三年级的孩子能够很好掌握归一问题的原因了，这个原因就是结构化模型的转换。
二、 渐进地处理了解决问题的模型化和去模式化问题。
模型化有助于学生理解结构和掌握结构，从唐老师上课的效果非常明显的证明了这一点。但唐师在建立图形模型和实物模型的同时，又极力注意去模型化。让学生经历图形，表格到生活问题，特别是到解决生活中的综合实践问题，重视了对解决问题的策略研究，没有过分地去套用模式，这对学生的思维发展，解决问题的能力发展是很有益的。我想，唐老师也正是基于这样的思考，才实现了正归一，反归一，倍比法的综合，突破了学生思维的定势，增强了灵活性和趣味性，又深化了“一”的认识，不拘泥于“一”就是“一个”，对归一的内涵进行拓展，透彻解析归一。
感谢唐老师为我们提供“数形结合，从图形直观中理解数学结构，掌握数量关系”这样的思路来改进应用题教学的思路。为我们广大数学教师呈现了一个新的视角，值得大家一起研究探索。
汪培新
编辑：周鹏程
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