数学原来可以那么美
2010年10月19日 08:13:43 来源:犍为县定文中心小学 访问量：616次
数学原来可以那么美
----基于信息技术的“圆与正多边形”再认识
浙江省杭州现代小学数学教育研究中心 唐彩斌
写在前面：
苏联教育家Ⅲ.A.阿莫纳什维利著有三部曲，“孩子们，你们好；你们生活得怎样？祝你们一路平安”。这样的标题用在表达教师面对即将毕业的孩子们是再贴切不过的了。此时，作为数学老师我们一定会问，孩子们六年了学了什么？学得怎样。在即将离开小学校园的时候，我们该怎样引导孩子来回顾小学数学的学习历程，除了“查漏补缺，拓展提高”这些泛化的表述以外，我们又该为孩子准备哪些“最后的营养”，面对习惯了的“精讲多练”的复习课，我们该如何考量理想的复习，是否应该是知识的整理与技能的巩固，同时也是经验的梳理以及思想的提升。
正是基于以上的思考背景，笔者创编了一个六年级综合实践活动：圆与正多边形再认识。结合学生的学情，制定了教学目标：在认识平面图形的基础上，进一步拓宽知识面，更深刻地认识圆与多边形之间的关系，为后续学习作更深铺垫；
经历操作与猜测的过程，培养学生的空间观念和想象能力，经历探索规律的过程，渗透“化繁为简”的转化思想，在直与曲的变换中，渗透辨证的思想；通过借助超级画板的动画技术，感受到图形之间的变幻，感受并欣赏数学美，激发学习数学的兴趣。
课堂回放一．整理回顾，驱动研究。
1．师：在我们学习的数学中，除了数，还有形。对于空间图形来说，包括点、线、面、体。它们之间有着怎样的联系呢？今天我们就借助超级画板来看一看：很多点连在一起就成了线，很多线连在一起就成了面，很多面连在一起就成了体。今天我们主要研究平面图形。（动态演示）
2．师：我们学过哪些平面图形呢？生：三角形，长方形，正方形、平行四边形、梯形、五边形……圆形。
3．引导比较。师：圆和这些图形有什么不同？生：圆是由曲线围成的，其他图形是由线段围成的。师：圆和其他的图形有着怎样的联系？今天我们将一起来研究。
教学反思：
在传统教学环境中，“点动成线，线动成面，面动成体”这样的基本认识总是停留在语言的表述上，很难直观地呈现。有了超级画板的演示，对点、线、面的移动进行跟踪，就非常便捷地实现了把抽象的知识直观展示了。它们之间的联系在信息技术的环境中尤为明晰。
对于平面图形的认识，学生会很快认识到圆与其他平面图形之间的不同，而联系似乎容易忽视，而本节课的学习从某种程度强化它们之间的联系。当正多边形的边数足够多的时候，实际它就成了一个圆。圆就是一个正无限多边形。
基于以上两个方面的梳理，除了知识的回顾，更是强化了一种联系的思想。
课堂回放二．动态演示，探索规律；认识圆内接正多边形。
（1）师：在圆周上找两个点，把圆周等分成2份，把这两个点连起来，是什么？生：直径；
（2）师：把圆周等分成3份，把点连接起来就成三角形；依次类推，
等分成4份，得到正四边形；等分成5份，得到正五边形……
（3）引导观察，交流发现。师：圆内出现这些图形有什么共同的特点与变化？相同之处：每条边都相等，顶点在圆上，图形都在圆内，因此这些图形都叫做圆内接正多边形。有什么不同之处：点数越多，边数越多，面积和周长越接近圆；
（4）动画验证发现。师：为了验证大家的发现，演示一个动画。（动态演示：多边形随着边数增加而增大。
（5）数据验证发现。边演示动画，边出现数据，用数量精确刻画变化；当边数增多的时候，正多边形的面积和周长就接近圆了。当出现正100边形的时候，可以设问：看到的是正多边形，还是圆？肉眼看到的已经是一个圆，实际上是一个正100边形。引导想象：如果是正3072边形呢？学生惊呼：几乎就是圆了。
（6）数学史介绍。师：这个道理，在古代推导圆周率的时候，就被发现，这个伟大的数学家的名字叫刘徽。（注：学生总是异口同声地说“祖冲之”。）我们除了记住祖冲之还应该记住刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。学生根据理解加以解读。
史料：中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”的数值来进行有关圆的计算。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。魏晋时期，刘徽提出用“割圆术”来求圆周率，把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.14和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算最精确的数据。以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。比西方国家早一千一百多年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。
教学反思：
尽管都是通过演示，引导学生经历一个正多边形边数逐渐增多引发的变化过程，但认识的层次依次加深，从单个图形的观察，到多个图形的动画演示，再到用数据精确刻画变化过程，不断深入地认识这一变化过程。而这一认识过程也恰恰是认识事物的一般过程，从个体的认识，到把多个事物联系起来看，再到用数学的眼光精确刻画。这也正是数学教育的目标之一。
对于史料，诚然，祖冲之对于圆周率的贡献是巨大的，但是刘徽的贡献也是不可磨灭的。我们不能割裂古代数学发展的片断，而应该尽可能展现全貌。展示全貌的概览还有更为重要的意义是，它不仅介绍相关的人，而且还介绍相应的事，就如圆周率的史料，不仅介绍这些人，而且还介绍他们提出计算圆周率的方法，在当时的背景下提出这些方法的历史意义与贡献。
课堂回放三．解析美妙图案：完全图是怎么形成的？
（1）师：刚才我们认识了圆内接正多边形，现在我们来看这一个图（出示一个顶点数为28的完全图），引导学生观察，提问：这个图是怎么画出来的？
（2）学生猜测。逐渐减少顶点数，引导学生发现图的构成；
（3）基于讨论得出：这个图是由正多边形和它所有的对角线构成的。教师指出像这样的图形叫做完全图。
（4）回顾过程提升方法。师：刚才是怎样发现这个图的形成特点的。结合学生的回答概括：把繁化简，从简入手。（板书）
（5）补充回应。师：刚才有同学猜测是用多边形旋转而成，旋转画出的图是怎样的？我们来演示一下。（动态演示由正三边形、正四边形、正五边形、正六边形绕点旋转而成的图形）
教学反思：
“好看”“漂亮”，这是描述事物的一般词汇。透过现象，探询本质，怀着好奇的心理了解图的构成，这是一种数学的视角。面对纷繁复杂的图案，能够唤起学生“化繁为简，从简入手”是一种重要的数学思想，基于简单的图形发现规律，再把规律推广到复杂的图形应用规律。
有了《超级画板》，演示学生的猜测，图案美妙变幻，学生兴趣盎然。
课堂回放四．解析美妙图案：完全图是多少条线段组成的？
（1）教师：刚才我们知道了完全图是由正多边形和它所有的对角线组成的。知道了这些，你们是否又有了新的问题？引导学生提问：到底有多少条线段呢？(不包括线段与线段相交后形成的线段，只是包括对角线与多边形的边)并启示学生思考准备怎么研究？（试图迁移化繁为简的转化思想）
（2）操作活动：给学生圆内接正多边形的空图，可供学生动手操作，尝试探索规律；
（3）引导学生有序思考：从一个顶点出发可以画出多少条线段。
多边形的边数 线段条数
3 2＋1＋0
4 3＋2＋1＋0
5 4＋3＋2＋1＋0
… ……
28 27＋26＋……＋1＋0
n n－1＋n－2＋……＋1＋0
归纳规律：完全图中的线段条数与顶点的关系：n×(n－1)÷2，n为多边形的边数，也是多边形的顶点数。
（4）巩固试算。计算顶点数为20的图形中有多少条线段？
教学反思：
知道了完全图的构成，进一步探究其中的线段数量。强化迁移“化繁为简，从简入手”数学思想，引导学生发现完全图中的线段条数与顶点的关系。在探索关系的过程中，引导学生有序地思考，从每一个顶点可以引发出多少条线段，有哪些线段是要重复的，直至概括出一般的数量关系。
课堂回放五．解析美妙图案：完全图是线段组成的，怎么会成曲线？
（1）引导学生继续提问：教师：刚才我们化繁为简，一步一步认识了完全图，刚开始我们只知道它很漂亮，后来知道它是怎么形成的，（通过顶点画出所有的对角线）。而且还知道它由多少条线段组成。看着这个图，你还能提出其他问题？
（2）引导学生思考：画的是线段但怎么在图中却出现了曲线，出现圆呢？
（3）组织学生操作。引导学生画一个简单的梯子滑倒图，感受画线段成曲线的过程。
（4）教师引导并作动态演示，感受画直为曲。（板书：画直为曲）
教学反思：
面对完全图，学生经历了由浅入深的认识过程，先是了解它是怎么构成的，再是探索到底是由多少条线段组成，最后还思考画直为曲的道理。同一图示，认识逐渐深入，环环相扣，不断激发学生的好奇心，挖掘同一图示的教学功能。
课堂回放六．动态演示，数学欣赏。
1．师：在课的最后，我们再来欣赏与今天学习有关的一些美妙图案。
2．学生欣赏：把梯子模型图与圆绕着圆旋转的图案结合起来演示。最后组合演示出一朵美丽的花，形成一个美妙的图案。
教学反思：随着新课程的改革，大家都赞同开设一些数学欣赏的内容，但鲜有系统的内容。用超级画板展示的这些动态的图案显然可以给我们留下很多启示，也留下值得探寻的空间。这些动态图案的展示激发了学生极大的学习热情，让学生感觉到“原来数学可以这么美妙”。
写在最后：
1．信息技术与学科整合有赖于有学科特性的技术平台。
听过或看过这节课的设计后，大家都会追问一个问题：这是个什么软件啊？是啊，这的确是一个重要的前提性的问题。我们都知道信息技术与学科整合历来是国际数学教育研究的趋势之一。开发一个适合小学数学教学的平台，一直是信息技术与数学学科整合的瓶颈。继演示型课件、互动型课件之后，如何开发即时生成的技术平台？在研究与实践中，我们越来越能体会到一个具有普适性的技术总顾及不到某学科的专业要求，一项好的教育技术必须符合学科教学的特点。继authorware、flash、powerpinot以后，又有什么好的软件会为教师提供选择。
我国数学家、计算机科学家、中科院张景中院士研发的软件《超级画板》，无疑是填补了空白。从课的设计中，我们感受得到用了这个免费软件，“本来就要做的事，做得更快更容易了，效率提高了”，比如现在画一个正20边形，只要选定一条边，设置正多边形的边数是20，一个正20边形就画成了，拉动其中一条边的长度，其他的边也自然增长了，因为动态的变化中，等边的几何属性是不会变的；“有些过去想到做不到的事，可以轻松实现了”，比如：要从一个顶点数是28的完全图变为顶点数为4的完全图，只要拖动变量滑钮就可以实现了，这在过去实现起来是困难的；“过去想不到或者不敢想的资源可以创造了”，当学生猜想完全图是多边形旋转而成，超级画板就可以当场演示“三角形旋转一圈形成的图形”，还可以把梯子模型的图和圆旋转的图结合起来形成美妙的花，这在传统的教学环境中是不可能完成的任务。而这一切超级画板都可以帮我们轻松实现。
2．课程内容的改变是课程改革的重要组成部分。
当听完或看完课的时候，另一个不约而同会问的是：这个内容小学现有的课程中是没有的？“圆内接正多边形”这样的词汇应该是中学的内容，其实这些名称并不是衡量中学内容与小学内容的标准，关键是看学生是否能够接受，课程内容的更新恰恰是重要的。笔者曾经不断反问自己：技术可以改变什么？是手段？是方法？是目标？是内容？设想，因为有了技术，而使得原来的课程内容的学习提高了效率，在此基础上，基于技术增加一些有利于学生探索规律、发展思维、培养空间观念、激发学习兴趣的内容未尝不可，恰恰相反，不是这样的内容多了，而是因为这样的内容我们研发的太少了。尽管我们都承认“教什么比怎样教更重要”。至少承认“教什么与怎样教同样重要”，但是当我们的教学出现新内容的时候，原有的认知总是容易产生干扰。看着学生学完这节课，更加明晰了点线面体以及圆与正多边形的关系，掌握了探索规律解决问题的一般转化的方法“化繁为简，从简入手”，体悟到极限的数学思想，并且在学习中对古代数学的历史有了更为完整的认识，学生学习时产生的那种激动心情和高昂的兴趣，给了我们极大的鼓舞和无限的宽慰，也更坚定我们改变课程内容的决心。
3．数学的美有不同层级的体验与感悟。
在课堂教学中，我们常常听到学生啧啧赞叹“原来数学可以这么美”。联系课堂中的教学情境，我们可以发现：数学美，绝不仅仅是外观的美，而是蕴含着不同层级的体验与感悟。当看到一些直观的动态图案时，可能直接感受的是一种色彩丰富的漂亮的图案；当发现学习内容之间的一些联系，感受到的是数学知识结构的美；当经历了一个认识事物的过程：从开始陌生，到熟悉，到清晰原理，学生感觉到的是学习数学的美妙情感。
学习只是阶段性的结束，愿孩子们带着对小学数学的欣喜与赞叹走进新的校园，我们想说的还是阿莫纳什维利的呼声“孩子们祝你们一路平安！”
品唐彩斌老师《超级画板，美妙图案》一课
（刘莉 湖北省教育厅教研室小学数学教研员）
我以为智慧的数学课堂应该是简简单单的。它清白而不晦涩，简约而不繁杂的。课堂中的学生能明明白白、有条不紊地从一节课的学习中走出来，走向知识、认识和经验的更高一级台阶，即便面对的是错综复杂的问题，大家一样能理出知识的或方法的或策略的丝丝缕缕，能够在对问题及其规律的认识、分析中积累经验，解决问题。
其次，智慧的数学课堂在清白简约的背后是蕴涵着深刻和厚度的。它于朴素中绽放思想，在细微中展现机智，似不经意中折射出文化，它以方法、策略、理性的力量推动学生去思考、去发现、去探究、去享受……学生的发展是智慧教学追求的目标。
《超级画板美妙图案》是一节关于空间与图形内容的课。新课程强调从多种角度来认识图形，认识空间。这是因为社会的发展使得人们越来越深刻认识到空间与人类的生存和居住的紧密关系，帮助学生了解和把握空间，才能使学生更好地生存、活动和成长。而且空间观念是创新精神所需的基本要素，因为许许多多的发明创造都是以事物的形态呈现的，作为设计者要先从自己的想象出发画出设计图，然后根据设计图做出实物模型，再根据模型修改设计，直至最终完善成型。而小学生因为年龄小、生活经验有限等原因，在空间观念和想象能力的建立上一直存在较大困难。怎样能够比较好地到解决这二者之间的矛盾？唐老师自编的这节课就是在展示他对这个问题的思考和大胆实践。
因此，从唐老师自编的两节课中我们读出他的第一个智慧：他能正确找出小学生数学学习中困难、薄弱的方面，选择合适的素材进行研究，来帮助小学生全面提高数学学习能力，它让我们看到了一名智慧型老师的教学敏锐。
选择合适的材料和主题展开研究是我从唐老师课堂中读出的另一个智慧。唐老师选择了几何画板工具使学生能依托直观培养空间观念和想象能力，培养学生运用变化、联系的观点分析问题，培养学生的空间观念和想象能力。
唐老师的课堂智慧不仅于此，如唐老师在学生认识了“圆”这个曲线图形之后，以“圆与正多边形之间的关系”为主题，带领学生领略认知、技能内容以外从直线图形到圆这个发展过程中一些思想方法上的变化。
并且，在唐老师“圆与正多边形之间的关系”的探索活动的背后，我们看到了这节课中闪现的一串“珍珠”，一串思想的珍珠：
1、联系的思想。这里有关于点、线、面、体间联系的直观揭示，有曲线图形“圆”与正多边形的关系的探讨。
2、运动变换的思想。在变换中认识圆内接正多边形，在变化中发现圆内接正多边形的边长和面积与圆的关系。在运动变化中去观察认识图形及其特征、规律。
3、极限的思想。逐步逼近的极限思想是研究圆这一曲线图形与正多边形的关系的重要指导思想，唐老师运用几何画板让学生形象地认识到了圆内接正多边形的面积随着边数增加而增大……直观地理解了“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。学生数形结合地理解极限思想。
4、化繁为简的转化思想。指导学生从复杂图形中辨别出基本图形，进而获得对“完全图”的认识；还有完全图中线段条数与顶点的关系的研究，也依据了从简单情况入手，借助推理，归纳总结出规律。
此外，唐老师用“画的是线段但怎么在图中却出现了曲线、出现了圆”等问题，引导学生在生活和学习中养成透过现象分析本质的习惯和探究意识（生活中的问题意识、数学眼光等），引导学生智慧地生活、快乐地探究。
有教育智慧的人，会把复杂的东西教得简单，有教育智慧的人，会把复杂的东西教得简单，会把简单的东西教得有厚度，会让人从一个概念、公式、算法中看到整个学科的魅力。当教师的心中有真正的数学，当课堂中有真正的儿童，数学教育就找到了那个撬动地球的支点！这样的数学课堂就是充满智慧的数学课堂！
编辑：周鹏程
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